バームクーヘン型積分

よくある1変数積分の問題に、ある関数で囲まれる面をy軸の周りに1回転させてできる体積を求めよというものがあります。そのような問題を解く際に用いられる手法としてバームクーヘン型積分というものが知られています。バームクーヘン(ドイツ語で木のケーキという意味です)の形状は軸の周りに線が入っているのが特徴です。バームクーヘン型積分というのは、その線を一つ一つかき集めて体積とみなす計算方法です。

具体的にy=f(x) (0<=x<=a)という形が与えられていると、この曲線とx軸で囲まれた面をy軸回りで1回転させたときの体積は次式のようになります。

2*PI*x*yというのは、底面の半径がx、高さがf(x)の円柱の側面積に相当します。側面積をxが0からaまでの範囲で集まると先述のように体積となるわけです。

余談ですが、この問題は東大が大学受験の問題として出したのがきっかけで広まったそうです。